เศษส่วนสองส่วนจะเท่ากันหากมีค่าเท่ากัน การรู้วิธีแปลงเศษส่วนเป็นเศษส่วนเทียบเท่าเป็นทักษะทางคณิตศาสตร์ที่สำคัญซึ่งจำเป็นสำหรับทุกอย่างตั้งแต่พีชคณิตพื้นฐานไปจนถึงแคลคูลัสขั้นสูง บทความนี้จะครอบคลุมหลายวิธีในการคำนวณเศษส่วนที่เท่ากันตั้งแต่การคูณและการหารพื้นฐานไปจนถึงวิธีการที่ซับซ้อนยิ่งขึ้นในการแก้สมการเศษส่วนที่เท่ากัน
ขั้นตอน
วิธีที่ 1 จาก 5: การสร้างเศษส่วนเทียบเท่า
ขั้นตอนที่ 1 คูณทั้งเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน
เศษส่วนสองส่วนที่แตกต่างกันแต่เท่ากันมีตัวเศษและตัวส่วนที่เป็นทวีคูณของกันและกันโดยนิยาม กล่าวอีกนัยหนึ่งการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน แม้ว่าตัวเลขในเศษส่วนใหม่จะต่างกัน แต่เศษส่วนจะมีค่าเท่ากัน
- ตัวอย่างเช่น หากเรานำเศษส่วน 4/8 แล้วคูณทั้งตัวเศษและส่วนด้วย 2 เราจะได้ (4×2)/(8×2) = 8/16 เศษส่วนทั้งสองนี้มีค่าเท่ากัน
- (4×2)/(8×2) โดยพื้นฐานแล้วเหมือนกับ 4/8 × 2/2 จำไว้ว่าเมื่อคูณเศษส่วนสองเศษ เราคูณกัน ซึ่งหมายถึงตัวเศษถึงตัวเศษ และตัวส่วนเป็นตัวส่วน
- สังเกตว่า 2/2 เท่ากับ 1 เมื่อคุณทำการหาร ดังนั้นจึงง่ายที่จะเห็นว่าเหตุใด 4/8 และ 8/16 จึงเท่ากันเนื่องจากการคูณ 4/8 × (2/2) = 4/8 ยังคง เช่นเดียวกับที่จะบอกว่า 4/8 = 8/16 ก็ยุติธรรม
- เศษส่วนที่ให้มาจะมีเศษส่วนที่เท่ากันเป็นจำนวนอนันต์ คุณสามารถคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วยจำนวนเต็มใดๆ ไม่ว่าจะมากหรือน้อยเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน
ขั้นตอนที่ 2 แบ่งตัวเศษและส่วนด้วยจำนวนเดียวกัน
เช่นเดียวกับการคูณ การหารยังสามารถใช้เพื่อหาเศษส่วนใหม่ที่เทียบเท่ากับเศษส่วนเริ่มต้นของคุณ เพียงหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน กระบวนการนี้มีข้อแม้อยู่ประการหนึ่ง คือ เศษส่วนผลลัพธ์ต้องมีจำนวนเต็มทั้งในตัวเศษและตัวส่วนจึงจะถูกต้อง
ตัวอย่างเช่น ลองดู 4/8 อีกครั้ง หากแทนที่จะคูณ เราหารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 เราจะได้ (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4 2 และ 4 เป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ ดังนั้นเศษส่วนที่เท่ากันนี้จึงถูกต้อง
วิธีที่ 2 จาก 5: การใช้การคูณพื้นฐานเพื่อหาความเท่าเทียมกัน
ขั้นตอนที่ 1 หาจำนวนที่ต้องการคูณตัวส่วนน้อยเพื่อให้ได้ตัวส่วนมาก
ปัญหามากมายเกี่ยวกับเศษส่วนเกี่ยวข้องกับการพิจารณาว่าเศษส่วนสองส่วนเท่ากันหรือไม่ โดยการคำนวณตัวเลขนี้ คุณสามารถเริ่มใส่เศษส่วนในเงื่อนไขเดียวกันเพื่อกำหนดความสมมูล
- ตัวอย่างเช่น ใช้เศษส่วน 4/8 และ 8/16 อีกครั้ง ตัวหารที่น้อยกว่าคือ 8, และเราจะต้องคูณจำนวนนั้น x2 เพื่อให้ได้ตัวหารที่มากกว่า ซึ่งก็คือ 16 ดังนั้น ตัวเลขในกรณีนี้คือ 2
- สำหรับจำนวนที่ยากขึ้น คุณสามารถหารตัวหารที่มากกว่าด้วยตัวหารที่น้อยกว่า ในกรณีนี้ 16 หารด้วย 8 ซึ่งก็ยังได้ 2
- ตัวเลขอาจไม่ใช่จำนวนเต็มเสมอไป ตัวอย่างเช่น หากตัวส่วนเป็น 2 และ 7 ตัวเลขจะเป็น 3.5
ขั้นตอนที่ 2 คูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนที่แสดงในพจน์ที่ต่ำกว่าด้วยตัวเลขจากขั้นตอนแรก
เศษส่วนสองส่วนที่แตกต่างกันแต่เท่ากันมีตามนิยามว่า ตัวเศษและตัวส่วนที่เป็นทวีคูณของกันและกัน. กล่าวอีกนัยหนึ่งการคูณตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันจะทำให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน แม้ว่าตัวเลขในเศษส่วนใหม่นี้จะต่างกัน แต่เศษส่วนจะมีค่าเท่ากัน
ตัวอย่างเช่น หากเรานำเศษส่วน 4/8 จากขั้นตอนที่หนึ่งมาคูณทั้งตัวเศษและตัวส่วนด้วยเลข 2 ที่กำหนดไว้ก่อนหน้านี้ เราจะได้ (4×2)/(8×2) = 8/16. ดังนั้นการพิสูจน์ว่าเศษส่วนทั้งสองนี้มีค่าเท่ากัน
วิธีที่ 3 จาก 5: การใช้การหารพื้นฐานเพื่อกำหนดความเท่าเทียมกัน
ขั้นตอนที่ 1 คำนวณเศษส่วนแต่ละส่วนเป็นเลขฐานสิบ
สำหรับเศษส่วนอย่างง่ายที่ไม่มีตัวแปร คุณสามารถแสดงเศษส่วนแต่ละส่วนเป็นเลขทศนิยมเพื่อกำหนดความสมมูล เนื่องจากทุก ๆ เศษส่วนเป็นปัญหาการหารในการเริ่มต้น นี่เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการพิจารณาความสมมูล
- ตัวอย่างเช่น ใช้ 4/8 ที่เราเคยใช้ก่อนหน้านี้ เศษส่วน 4/8 เท่ากับว่า 4 หารด้วย 8 ซึ่ง 4/8 = 0.5 คุณสามารถแก้ตัวอย่างอื่นได้เช่นกัน ซึ่งก็คือ 8/16 = 0.5 โดยไม่คำนึงถึงเงื่อนไขของเศษส่วน พวกมันจะเท่ากันถ้าตัวเลขสองตัวนั้นเหมือนกันทุกประการเมื่อแสดงเป็นทศนิยม
- จำไว้ว่านิพจน์ทศนิยมอาจมีตัวเลขหลายหลักก่อนที่ความเท่าเทียมกันจะปรากฎ ตามตัวอย่างพื้นฐาน 1/3 = 0.333 ทำซ้ำในขณะที่ 3/10 = 0.3 โดยใช้มากกว่าหนึ่งหลัก เราจะเห็นว่าเศษส่วนทั้งสองนี้ไม่เท่ากัน
ขั้นตอนที่ 2 แบ่งตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน
สำหรับเศษส่วนที่ซับซ้อนมากขึ้น วิธีการหารต้องมีขั้นตอนเพิ่มเติม เช่นเดียวกับวิธีการคูณ คุณสามารถหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วยจำนวนเดียวกันเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากัน มีข้อแม้ประการหนึ่งสำหรับกระบวนการนี้ เศษส่วนผลลัพธ์ต้องมีจำนวนเต็มทั้งในตัวเศษและตัวส่วนจึงจะถูกต้อง
ตัวอย่างเช่น ลองดู 4/8 อีกครั้ง ถ้าเราหารทั้งเศษและส่วนด้วย 2 แทนการคูณ เราจะได้ (4 ÷ 2)/(8 ÷ 2) = 2/4. 2 และ 4 เป็นจำนวนเต็มทั้งคู่ ดังนั้นเศษส่วนที่เท่ากันนี้จึงถูกต้อง
ขั้นตอนที่ 3 ลดเศษส่วนให้เหลือเงื่อนไขต่ำสุด
เศษส่วนส่วนใหญ่ควรแสดงด้วยพจน์ที่ต่ำที่สุด และคุณสามารถแปลงเศษส่วนเป็นพจน์ที่ง่ายที่สุดได้โดยการหารด้วยตัวประกอบร่วมมาก (GCF) ขั้นตอนนี้ดำเนินการโดยใช้ตรรกะเดียวกันในการแสดงเศษส่วนที่เท่ากันโดยแปลงให้มีส่วนเดียวกัน แต่วิธีนี้พยายามลดเศษส่วนแต่ละส่วนให้เป็นพจน์ที่แสดงออกต่ำสุด
- เมื่อเศษส่วนอยู่ในเงื่อนไขที่ง่ายที่สุด ตัวเศษและตัวส่วนจะเล็กที่สุดเท่าที่จะทำได้ ไม่สามารถหารด้วยจำนวนเต็มใดๆ เพื่อให้ได้ค่าที่น้อยกว่า ในการแปลงเศษส่วนที่ไม่อยู่ในเงื่อนไขที่ง่ายที่สุดให้อยู่ในรูปแบบที่เทียบเท่ากัน นั่นคือ เราจะหารตัวเศษและตัวส่วนด้วยตัวประกอบร่วมมากของพวกมัน
-
ตัวประกอบร่วมที่ยิ่งใหญ่ที่สุด (GCF) ของตัวเศษและตัวส่วนคือจำนวนที่มากที่สุดที่หารทั้งสองเพื่อให้ได้ผลลัพธ์เป็นจำนวนเต็ม ดังนั้น ในตัวอย่าง 4/8 ของเรา เนื่องจาก
ขั้นตอนที่ 4 เป็นจำนวนที่ใหญ่ที่สุดที่หารทั้ง 4 และ 8 ได้เท่ากัน เราจะหารตัวเศษและตัวส่วนของเศษส่วนด้วย 4 เพื่อให้ได้พจน์ที่ง่ายที่สุด (4 ÷ 4)/(8 ÷ 4) = 1/2. สำหรับตัวอย่างอื่นของ 8/16 ของเรา GCF คือ 8 ซึ่งส่งผลให้ 1/2 เป็นนิพจน์ที่ง่ายที่สุดของเศษส่วน
วิธีที่ 4 จาก 5: การใช้การคูณไขว้เพื่อแก้หาตัวแปร
ขั้นตอนที่ 1. ตั้งค่าเศษส่วนทั้งสองให้เท่ากัน
เราใช้การคูณไขว้สำหรับปัญหาทางคณิตศาสตร์ที่เรารู้ว่าเศษส่วนเท่ากัน แต่ตัวเลขตัวหนึ่งถูกแทนที่ด้วยตัวแปร (โดยทั่วไปคือ x) ซึ่งเราต้องแก้ ในกรณีเช่นนี้ เรารู้ว่าเศษส่วนเหล่านี้เท่ากันเพราะเป็นพจน์ด้านตรงข้ามของเครื่องหมายเท่ากับ แต่มักไม่ชัดเจนว่าจะแก้สมการหาตัวแปรได้อย่างไร โชคดีที่การคูณไขว้ทำให้การแก้ปัญหาประเภทนี้เป็นเรื่องง่าย
ขั้นตอนที่ 2 นำเศษส่วนที่เท่ากันทั้งสองมาคูณกันในเครื่องหมายเท่ากับในรูป "X"
กล่าวอีกนัยหนึ่ง คุณคูณตัวเศษของเศษส่วนหนึ่งด้วยตัวส่วนของอีกตัวหนึ่งและกลับกัน จากนั้นกำหนดคำตอบทั้งสองนี้ให้เท่ากันแล้วแก้โจทย์
ใช้สองตัวอย่างของเรา 4/8 และ 8/16 สองตัวนี้ไม่มีตัวแปร แต่เราสามารถพิสูจน์แนวคิดได้เนื่องจากเรารู้แล้วว่าพวกมันเทียบเท่ากัน โดยการคูณไขว้ เราจะได้ 4 x 16 = 8 x 8 หรือ 64 = 64 ซึ่งแน่นอนว่าเป็นความจริง ถ้าเลขสองตัวไม่เท่ากัน เศษส่วนก็ไม่เท่ากัน
ขั้นตอนที่ 3 แนะนำตัวแปร
เนื่องจากการคูณไขว้เป็นวิธีที่ง่ายที่สุดในการหาเศษส่วนที่เท่ากันเมื่อคุณต้องแก้หาตัวแปร มาเพิ่มตัวแปรกัน
-
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาสมการ 2/x = 10/13 ในการคูณไขว้ เราคูณ 2 ด้วย 13 และ 10 ด้วย x แล้วกำหนดคำตอบให้เท่ากัน:
- 2 × 13 = 26
- 10 × x = 10x
- 10x = 26. จากตรงนี้ การหาคำตอบสำหรับตัวแปรของเราเป็นเรื่องของพีชคณิตง่ายๆ x = 26/10 = 2.6, ทำให้เศษส่วนที่เทียบเท่าเริ่มต้น 2/2.6 = 10/13
ขั้นตอนที่ 4 ใช้การคูณไขว้สำหรับสมการที่มีหลายตัวแปรหรือนิพจน์ตัวแปร
สิ่งที่ดีที่สุดอย่างหนึ่งเกี่ยวกับการคูณไขว้คือมันทำงานในลักษณะเดียวกัน ไม่ว่าคุณจะจัดการกับเศษส่วนอย่างง่ายสองส่วน (ดังที่กล่าวข้างต้น) หรือเศษส่วนที่ซับซ้อนกว่า ตัวอย่างเช่น ถ้าเศษส่วนทั้งสองมีตัวแปร คุณเพียงแค่ต้องกำจัดตัวแปรเหล่านี้ในตอนท้ายระหว่างกระบวนการแก้ ในทำนองเดียวกัน หากตัวเศษหรือตัวส่วนของเศษส่วนของคุณมีนิพจน์ตัวแปร (เช่น x + 1) เพียงแค่ "คูณผ่าน" โดยใช้คุณสมบัติการกระจายและแก้ตามปกติ
-
ตัวอย่างเช่น ลองพิจารณาสมการ ((x + 3)/2) = ((x + 1)/4) ในกรณีนี้ ดังที่กล่าวข้างต้น เราจะแก้โดยการคูณไขว้:
- (x + 3) × 4 = 4x + 12
- (x + 1) × 2 = 2x + 2
- 2x + 2 = 4x + 12 จากนั้นเราก็ลดสมการได้โดยการลบ 2x จากทั้งสองข้าง
- 2 = 2x + 12, แล้วเราควรแยกตัวแปรโดยลบ 12 จากทั้งสองข้าง
- -10 = 2x และหารด้วย 2 เพื่อแก้หา x
- - 5 = x
วิธีที่ 5 จาก 5: การใช้สูตรกำลังสองเพื่อแก้หาตัวแปร
ขั้นตอนที่ 1 คูณคูณเศษส่วนทั้งสอง
สำหรับปัญหาการสมมูลที่ต้องใช้สูตรสมการกำลังสอง เรายังคงเริ่มด้วยการคูณไขว้ อย่างไรก็ตาม การคูณไขว้ใดๆ ที่เกี่ยวข้องกับการคูณเงื่อนไขตัวแปรด้วยเงื่อนไขตัวแปรอื่นๆ มักจะส่งผลให้เกิดนิพจน์ที่ไม่สามารถแก้ไขได้ง่ายๆ ผ่านพีชคณิต ในกรณีเช่นนี้ คุณอาจต้องใช้เทคนิคต่างๆ เช่น แฟคตอริ่งและ/หรือสูตรกำลังสอง
-
ตัวอย่างเช่น ลองดูสมการ ((x +1)/3) = (4/(2x - 2)) ก่อนอื่นมาคูณกัน:
- (x + 1) × (2x - 2) = 2x2 + 2x -2x - 2 = 2x2 - 2
- 4 × 3 = 12
- 2x2 - 2 = 12.
ขั้นตอนที่ 2 แสดงสมการเป็นสมการกำลังสอง
ณ จุดนี้ เราต้องการแสดงสมการนี้ในรูปกำลังสอง (ax2 + bx + c = 0) ซึ่งเราทำโดยการตั้งสมการให้เท่ากับศูนย์ ในกรณีนี้ เราลบ 12 จากทั้งสองข้างเพื่อให้ได้ 2x2 - 14 = 0.
บางค่าอาจเท่ากับ 0 แม้ว่า 2x2 - 14 = 0 เป็นรูปแบบที่ง่ายที่สุดของสมการของเรา สมการกำลังสองที่แท้จริงคือ 2x2 + 0x + (-14) = 0 มันอาจจะช่วยในการสะท้อนรูปแบบของสมการกำลังสองแม้ว่าค่าบางค่าจะเป็น 0 ก็ตาม
ขั้นตอนที่ 3 แก้โดยการแทนตัวเลขจากสมการกำลังสองของคุณลงในสูตรกำลังสอง
สูตรกำลังสอง (x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a) จะช่วยเราแก้หาค่า x ณ จุดนี้ อย่าวิตกกับความยาวของสูตร คุณแค่นำค่าจากสมการกำลังสองมาไว้ในขั้นตอนที่ 2 แล้วใส่ลงในจุดที่เหมาะสมก่อนแก้
- x = (-b +/- √(b2 - 4ac))/2a. ในสมการของเรา 2x2 - 14 = 0, a = 2, b = 0 และ c = -14
- x = (-0 +/- √(02 - 4(2)(-14)))/2(2)
- x = (+/- √(0 - -112))/2(2)
- x = (+/- √(112))/2(2)
- x = (+/- 10.58/4)
- x = +/- 2.64
ขั้นตอนที่ 4 ตรวจสอบคำตอบของคุณโดยแทนค่า x กลับเข้าไปในสมการกำลังสองของคุณ
โดยการแทนค่าที่คำนวณได้ของ x กลับเข้าไปในสมการกำลังสองของคุณจากขั้นตอนที่สอง คุณสามารถระบุได้อย่างง่ายดายว่าคุณได้คำตอบที่ถูกต้องหรือไม่ ในตัวอย่างนี้ คุณจะแทนค่า 2.64 และ -2.64 ลงในสมการกำลังสองเดิม
วิดีโอ - การใช้บริการนี้ อาจมีการแบ่งปันข้อมูลบางอย่างกับ YouTube
เคล็ดลับ
- การแปลงเศษส่วนเป็นรูปแบบที่เทียบเท่ากันนั้นแท้จริงแล้วเป็นรูปแบบของการคูณมันด้วย 1 ในการแปลง 1/2 เป็น 2/4 การคูณตัวเศษและตัวส่วนด้วย 2 จะเหมือนกับการคูณ 1/2 ด้วย 2/2 ซึ่งเท่ากับ 1
-
หากต้องการ ให้แปลงจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมเพื่อให้การแปลงง่ายขึ้น เห็นได้ชัดว่าไม่ใช่ทุกเศษส่วนที่คุณเจอจะแปลงง่ายเหมือนตัวอย่าง 4/8 ด้านบน ตัวอย่างเช่น จำนวนคละ (เช่น 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3 เป็นต้น) อาจทำให้ขั้นตอนการแปลงซับซ้อนขึ้นเล็กน้อย หากคุณต้องการแปลงจำนวนคละให้เป็นเศษส่วนที่เท่ากัน คุณสามารถทำได้สองวิธี: โดยการเปลี่ยนจำนวนคละเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม แล้วแปลงตามปกติ หรือ โดยคงจำนวนคละและรับจำนวนคละเป็นคำตอบ
- ในการแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสม ให้คูณองค์ประกอบจำนวนเต็มของจำนวนคละด้วยตัวส่วนขององค์ประกอบที่เป็นเศษส่วนแล้วบวกเข้ากับตัวเศษ ตัวอย่างเช่น 1 2/3 = ((1 × 3) + 2)/3 = 5/3 จากนั้นหากต้องการ คุณสามารถแปลงได้ตามต้องการ ตัวอย่างเช่น 5/3 × 2/2 = 10/6 ซึ่งยังคงเทียบเท่ากับ 1 2/3
- อย่างไรก็ตาม เราไม่จำเป็นต้องแปลงเป็นเศษส่วนที่ไม่เหมาะสมดังที่กล่าวข้างต้น ถ้าเราไม่ทำเช่นนั้น เราจะเพิกเฉยต่อองค์ประกอบจำนวนเต็ม แปลงส่วนประกอบที่เป็นเศษส่วนเพียงอย่างเดียว แล้วเพิ่มส่วนประกอบจำนวนเต็มกลับโดยไม่เปลี่ยนแปลง ตัวอย่างเช่น สำหรับ 3 4/16 เราจะดูที่ 4/16 4/16 ÷ 4/4 = 1/4 ดังนั้น เมื่อบวกองค์ประกอบจำนวนเต็มกลับเข้าไป เราได้จำนวนคละใหม่ 3 1/4.
คำเตือน
- งานการคูณและการหารเพื่อให้ได้เศษส่วนที่เท่ากันเนื่องจากการคูณและหารด้วยรูปแบบเศษส่วนของตัวเลข 1 (2/2, 3/3 เป็นต้น) ให้คำตอบที่เทียบเท่ากับเศษส่วนเริ่มต้นตามคำจำกัดความ การบวกและการลบไม่อนุญาตให้เป็นไปได้
-
แม้ว่าคุณจะคูณตัวเศษและตัวส่วนเข้าด้วยกันเมื่อคูณเศษส่วน คุณจะไม่บวกหรือลบตัวส่วนเมื่อบวกหรือลบเศษส่วน
ตัวอย่างเช่น ข้างต้น เราพบว่า 4/8 ÷ 4/4 = 1/2. หากเราบวกด้วย 4/4 เราจะได้รับคำตอบที่ต่างไปจากเดิมอย่างสิ้นเชิง 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 หรือ 3/2 ซึ่งไม่เท่ากับ 4/8